Augustin Louis Cauchy

(21 de agosto de 1789-23 de mayo de 1857)

Fe y obras

Nació en el seno de una familia católica francesa y recibió por parte de su madre una sólida educación religiosa, así como una educación clásica elemental, por parte de su padre. Se reconoce su especial amor por la docencia y su interés por difundir cada uno de sus resultados, sin embargo su fe le traería algunos problemas con sus compañeros, en una carta escrita en 1810 le dice a su madre:

Así que afirman que mi devoción me está haciendo sentir orgulloso, arrogante y autoengañado… ahora he dejado de mencionar la religión y ya nadie dice nada del tema…

En cada reunión con la Academia, Cauchy tenía nuevos temas que exponer. Su espíritu creativo se destaca, abriendo así nuevas formas para la resolución de problemas. Cauchy estuvo en contacto con otros matemáticos católicos como Charles Hermite, además dirigió una de las tesis doctorales de Francesco Faà di Bruno, reconocido como el máximo exponente del catolicismo social piamontés. La iglesia apunta también la gran influencia por parte de Cauchy a Francesco en el ámbito espiritual:

Hay que destacar su grandeza de alma, basada en profundas convicciones cristianas y en una sólida vida de piedad.

Fue colaborador activo para la fundación de distintas sociedades piadosas y miembro activo, a lo largo de su vida, de las conferencias de San Vincente de Paul. Las comunidades que apoyó tenían como objetivo, entre muchas otras cosas, apoyar escuelas en Francia, siendo un fuerte defensor de la educación católica frente al laicismo reinante y sosteniendo que los colegios católicos tenían el derecho a ser independientes, apoyando así a ordenes religiosas como los jesuitas, al respecto declaró:

Soy cristiano, es decir, creo en la divinidad de Jesucristo como lo hicieron Tycho Brahe, Copérnico, Descartes, Newton, Fermat, Leibniz, Pascal, Grimaldi, Euler, Guldin, Boscovich, Gerdil; como todos los grandes astrónomos, físicos y geómetras de épocas pasadas: más aún, soy, como la mayor parte de éstos, católico: y si me preguntaran las razones de mi fe, las daría de buena gana. Demostraría que mis convicciones no tienen su origen en un mero prejuicio, sino en la razón y una investigación resuelta.

Buscó a lo largo de su vida apoyar a los más necesitados. Sus convicciones le costaron, en 1843, la cátedra de matemáticas en el Collège de France, a la que era candidato junto con Lioville (1809-1882) y Libri (1803-1869). De los tres candidatos fue elegido Libri, sin embargo, Cauchy aventajaba a ambos en habilidades matemáticas, por lo cual, Lioville, se manifestó al día siguiente sobre Cuachy:

Profundamente humillado como hombre y como matemático por lo ocurrido ayer en el Collège de France.

En relación con su testimonio y la manera en que concebía la ciencia y la razón escribió en su Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821):

Sería un error pensar que la certeza sólo se puede encontrar en demostraciones geométricas o en el testimonio de los sentidos (…) Cultivemos, por tanto, nuestro fervor por las ciencias matemáticas sin sobrepasar su verdadero alcance. Sería inimaginable que los problemas históricos pudieran enfrentarse con fórmulas matemáticas, o la confirmación de los principios de la moralidad a través de teoremas de álgebra y cálculo.

Se cuenta que cuando Cauchy estaba en el lecho de muerte, y el sacerdote iba camino a llevarle la Santa Comunión, mandó a cortar las flores más hermosas de su jardín para adornar las escaleras de su casa en honor al paso del Señor. Esta fe, que lo acompañó hasta el lecho de muerte, también fue palpable para su familia, como lo cuenta su hija en una de sus cartas:

Habiendo permanecido completamente alerta, en completo control de sus facultades mentales, hasta las 3:30 am. Mi padre pronunció de repente los benditos nombres de Jesús, María y José. Por primera vez, pareció darse cuenta de la gravedad de su estado. Aproximadamente a las cuatro en punto, su alma fue a Dios. Enfrentó su muerte con tanta calma que nos avergonzó de nuestra infelicidad.

Vida académica

Nació el 21 de agosto de 1789 en la ciudad de París, en pleno estallido de la revolución francesa, hijo del matrimonio entre Louis François Cauchy y María Magdalena Desestre. Su padre era primer secretario del teniente de policía de París y su madre venía de una familia de oficiales de la misma ciudad, por esta razón vieron su vida amenazada por ira de la gente y la familia se mudó a Arcueil, donde pasaron dificultades económicas. Al respecto escribe su padre:

Nunca tenemos más de media libra de pan y, a veces, ni siquiera eso. Esto lo complementamos con la poca provisión de galletas duras y arroz que nos asignan.

Regresaron a París y el padre de Cauchy participó activamente en la educación del Agustin Louis. Laplace y Lagrange eran amigos de la familia y este último le aconseja a Louis François formar al joven Agustin Louis en idiomas, antes de comenzar un estudio serio en matemáticas. En 1802, Agustin ingresa a la École Centrale du Panthéon, donde pasó dos años estudiando lenguas clásicas.

En 1804, asistió a clases de matemáticas y a los 16 años, en 1805, se presentó al examen de ingreso en la École Polytechnique, en la cual asiste a los cursos de Lacroix, de Prony y Hachette, además, Ampère sería su tutor de la materia de análisis. En 1807, se gradúa y entra a la escuela de ingeniería École des Ponts et Chaussées. Fue un alumno destacado y para su trabajo práctico le asignan el Canal Ourcq donde trabaja con Pierre Girard. En 1810, Cauchy es admitido en el organismo para ingenieros más prestigioso, el de Ponts et Chaussées, además consigue su primer trabajo en Cherbourg para las instalaciones portuarias de la flota de Napoleón, preparada para la invasión de Inglaterra. En este tiempo lee una copia de la “Mécanique Céleste” de Laplace y “Théorie des Fonctions” de Lagrange, fue un período muy ocupado para él, pues también inicia su investigación en el campo de las matemáticas, sobre esto escribe en una carta a su familia:

Me levanto a las cuatro de la mañana y estoy ocupado desde entonces… no me canso de trabajar, al contrario, me vigoriza y estoy en perfecta salud…

En 1811, demostró que los ángulos de un poliedro convexo están determinados por sus caras, y presentó su primer artículo sobre el tema. En 1812, animado por Legendre y Louis Malus presentó otro artículo sobre polígonos y poliedros, con esta carga y las largas vigilias, Cauchy entra en un estado depresivo que se prolonga y lo empuja a volver a vivir con sus padres. Nueve meses después, en septiembre de 1812, regresa a París donde se dedicó a investigar las funciones simétricas, presentó en noviembre un trabajo sobre el tema que sería publicado en el Journal of the École Polytechnique en 1815. Regresó a trabajar en el proyecto del Canal Ourcq por un tiempo pero por cuestiones políticas la obra se detuvo. En 1814, obtiene el puesto de profesor de la Société Philomatique de Paris, antecámara de la Academia Francesa (en ese tiempo Institut de France) y publica un trabajo sobre integrales definidas que fue el comienzo de su teoría de funciones complejas. En 1815, es designado profesor ayudante de análisis en la École Polytchnique. Mientras tanto, acaba de completar una brillante tesis en la que resuelve una de las afirmaciones de Fermat sobre números poligonales hechas a Mersenne.

Todo número entero positivo es suma de tres números traingulares, cuatro números cuadrados, cinco números pentagonales, seis números hexagonales, …

En 1816, es galardonado con el Grand Prix de la Academia Francesa de Ciencias por un trabajo sobre ondas y logra ingresar a la Academia de Ciencias de Francia. En 1817, cuando Jean Baptiste Biot salió de París, Cauchy ocupó su puesto en el Collège de France, donde dio una conferencia sobre métodos de integración que había descubierto.

En 1818, se casa con Aloïse de Bure, con quien tendrá dos hijas Marie Françoise Alicia (1819) y Marie Mathilde (1823). Gracias a Cauchy el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Su curso sobre análisis fue criticado tanto por sus alumnos como por sus compañeros profesores, sin embargo, se volvió un referente por la rigurosidad y precisión en los conceptos. También precisó los conceptos de función, límite y continuidad en la forma actual o casi actual de la definición, eliminando la intuición geométrica como punto de partida para el análisis y comenzando, en su lugar, en el concepto de límite. Fue el primero en hacer un estudio riguroso de las condiciones de convergencia de series infinitas, definió por primera vez el concepto de función compleja en su “Leçons sur le Calcul Différentiel” de 1829, además de su rigurosa definición de integral, tomando de nuevo el concepto como suma en lugar de operación inversa.

Su relación con otros científicos no fue muy afortunada, destacando su desfavorable actuación con dos grandes matemáticos y alumnos suyos, Évariste Galois y Niels Henrik Abel de quienes se dice pudo haber tenido envidia, teniendo un comportamiento indigno de alguien tan brillante como Cauchy.

En 1830, tuvo que salir de Francia, aceptando, en 1832, del rey de Piamonte, una oferta para dar clases en una cátedra de física teórica en Turín. Luigi Federico Menabrea (1809-1896), que asistió a su curso, lo describe así:

Estábamos muy confundidos, saltaba repentinamente de una idea a otra, de una fórmula a la siguiente, sin intentar establecer una conexión entre ellas. Sus presentaciones eran nubes oscuras, iluminadas de vez en cuando por destellos de puro genio… de los treinta que se inscribieron conmigo, fui el único que lo logró.

En ese mismo año fue nombrado miembro de la Royal Society de Londres y un años depués viajó a Praga para ser el tutor del nieto del rey Carlos X y tuvo una reunión con Bolzano (1781-1848). Para 1838, las condiciones políticas le permitieron regresar a París donde recuperó su puesto en la Academia Francesa pero no su puesto como profesor. En este periodo hizo un trabajo importante sobre ecuaciones diferenciales y aplicaciones a la física matemática.

En 1843, cuando es derrocado el rey Luis Felipe I, Cauchy recupera sus puestos universitarios, retomando sus lecciones en la Soborna, que mantendrá varios años.

Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, el teorema de valor medio de Cauchy (análisis real), el teorema de Cauchy (para teoría de grupos), teorema de Cauchy-Hadamard (series de potencias), las ecuaciones de Cauchy-Riemann (variable compleja), el criterio de convergencia de Cauchy para series reales, entre otros. Y la obra de Cauchy es asombrosa, no sólo por ser muy extensa, 789 artículos de matemáticas sólo superada por Leonhard Euler, Paul Erdős y Arthur Cayley, sino por abarcar distintas áreas con un tema unificador.

Continuó siendo profesor hasta los 67 años, cuando, el 23 de mayo de 1857, a las 4 am, Agustin partió a la casa del Padre.

Trabajos destacados

Augustin Louis Cauchy es reconocido por sus múltiples hallazgos en teoría de elasticidad, ondas, geometría, sucesiones de números y variable compleja. En este texto nos centraremos en dos aportes (aunque hemos de reconocer que es muy injusto, pues Cauchy hizo muchos aportes en todas las áreas mencionadas).

En teoría de elasticidad, el aporte de Cauchy fue el llamado tensor de esfuerzos (o de tensiones), pero, ¿qué es un tensor? Bueno, esto no es fácil de responder, pero para los fines de esta explicación (y del tensor de esfuerzos de Cauchy) podemos decir que es sólo un arreglo de números, como el que se ve a continuación:

\[\sigma = \left(\matrix{\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}}\right)\]

Esta es un herramienta para no tener que escribir tanto (es decir, en lugar de escribir estos 9 números, solo se escribe $\sigma_{ij}$ donde $i$ y $j$ pueden ser $x$, $y$ y $z$), aunque también nos da más información de la que creemos. Pensemos, pues, en un cubito como el que se ve en la siguiente imagen y tomemos la cara perpendicular al eje $x$, sobre esta cara es posible ejercer una fuerza, y esta fuerza, a su vez, tiene una componente en el eje $x$, otra componente en el eje $y$ y otra componente en el eje $z$ (como se ve en la segunda figura). Si yo divido la componente $x$ de la fuerza entre el área de esta cara, obtengo $\sigma_{xx}$; si divido la componente $y$ de la fuerza entre el área de esta cara obtengo $\sigma_{yx}$; y si divido la componente $z$ de la fuerza entre el área de esta cara, obtengo $\sigma_{zx}$; si repetimos esto para las otras caras (la perpendicular al eje $y$ y la perpendicular al $z$), obtendremos el resto de “numeritos” del arreglo (es decir, del tensor). Esto lo que quiere decir es que el primer subíndice me habla de la dirección de la fuerza y el segundo subíndice me habla sobre qué cara se está ejerciendo la fuerza. Y, ¿qué sentido tiene hablar de este tensor? Bueno, resulta que, en la teoría de la elasticidad, este tensor nos ayuda a entender cómo se deformará un material (como un tornillo, una varilla de acero, un tubo de cobre, etc), por eso es muy importante este aporte de Cauchy.

Figura 1	Figura 2

Cauchy hizo muchos aportes en el tema de variable compleja, pero nos centraremos en sólo uno (repetimos, sabemos que es un poco injusto centrarnos únicamente en uno), en el llamado Teorema integral de Cauchy. Este teorema establece que si tenemos una función $f(z)$ que es diferenciable (en el sentido de la variable compleja), entonces la integral de esa función en un contorno cerrado simple es cero (hay más detalles matemáticos, pero no los queremos aburrir con estos). Pero, ¿qué es todo esto? Bueno, eso explicaremos, esperamos no haberlos perdido en esta parte. Primero explicaremos lo que es un contorno cerrado simple. Los números complejos se pueden representar por un plano, donde el eje horizontal es el eje real (es decir, estos son los números reales, los números de siempre) y el eje vertical ese el eje imaginario (es decir, son como los números reales pero multiplicados por la unidad imaginaria $i=\sqrt{-1}$).

Figura 3

En este plano, pensemos en una curva donde el punto inicial y el punto final son el mismo (véase la siguiente figura; la segunda figura muestra una curva que no es cerrada), esto es un contorno cerrado (se le llama contorno porque encierra un trozo de área del plano y cerrado porque el punto final de la curva es el mismo que el inicial), pero es posible que la curva de varias vueltas al área que encierra, así que si sólo da una vuelta decimos, además, que es simple, es decir, un contorno cerrado simple.

Figura 4	Figura 5

Y, ¿cómo es una integral en los números complejos? Bueno, en primer lugar, el contorno cerrado hay que dividirlo en muchos fragmentos, ahora tomemos el primer fragmento y un puntito en ese fragmento, la función $f$ evaluémosla en ese puntito que elegimos y luego multipliquemos por la longitud del fragmento, repitamos el procedimiento con cada fragmento de curva y sumemos, eso sería la integral (estrictamente hablando, la integral sería cuando los fragmentitos son tan pequeños que son casi cero). Entonces, recapitulando, el teorema de Cauchy dice que la integral de una función diferenciable $f(z)$ sobre un contorno cerrado simple $C$ debe ser cero, y en símbolos matemáticos se escribe como: \(\oint_C f(z) \mathrm{d}z = 0\) Ahora, parece más entendible, ¿no?

Principales Publicaciones

[1] Cauchy, A., Cours d’analyse de l’École royale polytechnique École polytechnique, Francia (1821);
[2] Cauchy, A., Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires De Bure frères, Paris (1825);
[3] Cauchy, A., Exercices de mathematiques De Beaucé Rusand, Paris (1826);
[4] Cauchy, A., Exercices de mathematiques. Année 2 De Beaucé Rusand, Paris (1827);
[5] Cauchy, A., Lecons sur le calcul différentiel De Bure freres, Paris (1829);
[6] Cauchy, A., Sur la mecanique celeste et sur un nouveau calcul qui s’applique a un grand nombre de questions diverses. Firmin Didot Fréres, Paris (1831); [7] Cauchy, A., Nouveaux exercices de mathématiques. Société royale des sciences de Prague, Checoslovaquia (1835);
[8] Cauchy, A., Exercices d’analyse et de physique mathematique, Vol. 1 Bachelier, Paris (1840);
[9] Cauchy, A., Exercices d’analyse et de physique mathematique, Vol. 2 Bachelier, Paris (1841);
[10] Cauchy, A., Exercices d’analyse et de physique mathematique, Vol. 3 Bachelier, Paris (1844);
[11] Cauchy, A., Exercices d’analyse et de physique mathematique, Vol. 4 Bachelier, Paris (1847);

Los siguientes tomos son una recopilación del Ministère de l’éducation nationale bajo la dirección de la Académie des sciences (Francia), dado que la obra de Cauchy abarca unos 789 artículos de matemáticas.

Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome I.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome II.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome III.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome IV.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome V.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome VI.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome VII.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome VIII.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome IX.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome X.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome XI.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série I, Tome XII.

Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome I.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome II.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome III.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome IV.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome V.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome VI.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome VII.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome VIII.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome IX.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome X
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome XI.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome XII.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome XIII.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome XIV.
Œuvres complètes d’Augustin Cauchy. Série II, Tome XV.

Fuentes:

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Kurrer, K. The history of the theory of structures (2nd ed., pp. 978-979). Berlín, Alemania: Wilhelm Ernst & Sohn.

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Infografía